Modelos de Programación Lineal
Los modelos de Programación Lineal son ampliamente utilizados como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución, como así también su pertinencia a distintos problemas de naturaleza real. A continuación se presentan algunos ejemplos resumidos en complejidad con el objetivo de mostrar algunas aplicaciones típicas.
Aplicaciones de la Programación Lineal
Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000 dólares para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.
Variables de Decisión:
x = dólares invertidos en Acción A.
y = dólares invertidos en Acción B.
Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones.
Maximizar 0.1x + 0.08y
Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo.
| x + y ≤ 21.000 | Se puede invertir como máximo 21.000 dólares en total |
| x ≤ 13.000 | Invertir como máximo 13.000 dólares en Acción A |
| y ≥ 6.000 | Invertir como mínimo 6.000 dólares en Acción B |
| x - 2y ≤ 0 | Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B |
| x≥0, y≥0 | No Negatividad |
Sólución Óptima: X = 13.000 Y = 8.000. Valor Óptimo V(P) = 1.940 dólares. Se recomienda verificar estos resultados a través de la resolución gráfica y/o utilizando Solver de Excel.
Problema de Proceso Productivo: Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio.
Variables de Decisión:
X = Unidades a elaborar y vender del mueble A.
Y = Unidades a elaborar y vender del mueble B.
Z = Unidades a elaborar y vender del mueble C.
De esta forma el modelo de optimización que permite encontrar el plan óptimo de producción es el siguiente:
Este es el modelo utilizado para ejemplificar el uso de Solver de Excel en donde se pueden encontrar los resultados.
Problema de Mezcla de Productos: Se dispone de 2 ingredientes para fabricar caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg. y el segundo a $20 por kg. El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg. fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg. empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg. A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg. de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio.
Variables de Decisión:
X1: Kg a usar del ingrediente 1 en un mes
X2: Kg a usar del ingrediente 2 en un mes
Función Objetivo: Obtener la maxima utilidad de la venta de los caramelos descontando los costos de producción
Maximizar 50*(X1 + X2) – 10*X1 – 20*X2 - 5*(X1 + X2) = 35*X1 + 25*X2
Restricciones:
Demanda Máxima: X1 + X2 <= 100
Composición: X1/(X1 + X2) <= 50% o 0,5*X1 – 0,5*X2 <= 0
Composición: X2/(X1 + X2) <= 80% o -0,8*X1 + 0,2*X2 <= 0
No Negatividad: X1,X2>=0
Sólución Óptima: X1 = 50 X2 = 50. Valor Óptimo V(P) = $3.000.
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EXTENSIONES: Se pueden revisar otras aplicaciones a través del siguiente enlace: Modelos de Programación Lineal.